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Métodos Matemáticos de proyección
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Los métodos matemáticos que se aplican en el cálculo de la población futura del país, se basan en ecuaciones que expresan el crecimiento demográfico en función del tiempo. |
30. ¿En que se basan los métodos
matemáticos de proyección?
Los métodos matemáticos que se aplican en el cálculo de la población
futura del país, se basan en ecuaciones que expresan el crecimiento demográfico
en función del tiempo, dicho crecimiento medido y expresado en una tasa o en
un porcentaje de cambio, se obtiene a partir de la observación o estimación
del volumen poblacional en dos o más fechas del pasado reciente. Por lo general,
los censos de población, realizados con un intervalo aproximado de diez
años, permiten dicha medición. De otro lado, si no existe esa información, es
válido utilizar por analogía, tasa de crecimiento demográfico de otros países que
hayan experimentado circunstancias similares.
Una vez determinada la tasa o el volumen de crecimiento del pasado, se procede a extrapolar la curva
de crecimiento que mejor se adecue a la tendencia observada o supuesta.
La extrapolación consiste en prolongar la curva, previamente seleccionada, más
allá de la última observación, presente o pasada, bajo la hipótesis de que el aumento observado entre dos
fechas anteriores continuarán después de la última observación.
En la aplicación de los métodos matemáticos de extrapolación se
supone que el crecimiento total de la población sigue un ritmo bastante regular, que
se mantendrá constante en el futuro. Ello implica que las características pertinentes de la situación económica y social
del futuro serán iguales que en el pasado, o serán consecuencia de una
evaluación gradual, de manera tal que no afecten significativamente a la dinámica demográfica.
Si se dispone de la estimación
de la población en dos momentos del pasado, se puede elegir entre
dos métodos de extrapolación: el uso de
una proporción aritmética o el uso de
una proporción geométrica. Si se cuenta
con más de dos estimaciones, es posible el uso de curvas polinómicas, de segundo
o tercer grado u otro tipo de funciones. A continuación, se presenta estos
métodos de proyección.
31. Método del Crecimiento Aritmético (Cambio Lineal).
Es este el método más sencillo
de extrapolación. Consiste en calcular la
cifra media anual de aumento de la
población entre un censo y el siguiente y añadir
una cantidad igual por cada año
transcurrido después del último censo.
Ello supone una relación
de aumento lineal de la población de la siguiente naturaleza:
N0 y Nk : Las poblaciones observadas
en dos fechas del pasado reciente, |
: La cifra media anual de
aumento de la población entre los años 0 y k
del pasado, |
Nt : La población futura o
resultado de la proyección,
k : Período en años, entre
N0 y Nk
t : Es el número de años que se va a
 Al aplicarse este método deberá considerarse, además de su
relativa sencillez, que el supuesto básico de un aumento constante de población,
significa en realidad un ritmo descendente del crecimiento de la población.
En el caso de este ejemplo, la aplicación del método de las
proporciones aritméticas por un período corto de tiempo es razonable
ya que existen motivos para suponer que el ritmo de crecimiento de la población
peruana está en descenso.
32. Método del Crecimiento Geométrico (Cambio
Geométrico)
La aplicación de este
método supone que la población
aumenta constantemente en una cifra proporcional a su volumen cambiante. Para obtener
la población futura se aplica al último dato poblacional que se tenga, la fórmula del "interés compuesto"
manteniendo constante la misma tasa anual de crecimiento del período anterior:
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La aplicación del método de crecimiento geométrico supone que la población aumenta constantemente en una cifra proporcional a su volumen cambiante. | |
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La aplicación de una tasa constante de crecimiento geométrico siempre da una estimación de población más elevada que cuando se aplica proporciones aritméticas. |
 donde:
N0 : Población al inicio del período Nt : Población futura, resultado de la proyección r : Tasa media anual de crecimiento t : Número de años que se va
Como se observa a partir de este ejemplo y del anterior, la aplicación
de una tasa constante de crecimiento geométrico siempre da una estimación
de la población más elevada que cuando se aplica proporciones aritméticas.
No es posible suponer que
la población de un país crecerá durante
un período indefinido a un ritmo constante, pues llegaría a ser tan grande que
resultaría casi imposible más aumentos. Por tanto, conviene limitar
la extrapolación geométrica a períodos, si es
plausible suponer que determinada población aumentará siguiendo una
proporción geométrica, ya sea porque los niveles
de natalidad, mortalidad y migraciones se mantendrán constantes, o porque
las variaciones de alguno de dichos factores se verán compensadas con
variaciones en sentido contrario, de otro de los factores.
También deberá escogerse
con sumo cuidado la población base de la proyección, como el período al cual
se refiere la tasa de crecimiento que se va aplicar. Si han transcurrido varias décadas desde la fecha a la cual se refiere
la población base, la extrapolación geométrica resultará cada vez menos
fiable y puede conducir a una exageración acumulativa de la población
acumulada. Ocurrirá del mismo modo, si la tasa
de crecimiento seleccionada pertenece a un período muy lejano en el tiempo,
cuando el crecimiento alcanzaba niveles distintos.
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33.Método del Crecimiento Parabólico. En los casos en que se dispone de estimaciones de la población referidas a tres o más fechas pasadas y la
tendencia observada no responde ni a una línea recta, ni a una curva geométrica
o exponencial, es factible el empleo de una función polinómica siendo las
más utilizadas las de segundo o tercer grado.
Una parábola de segundo grado puede calcularse a partir de los resultados de tres censos o estimaciones. Este
tipo de curva no sólo es sensible al ritmo medio de crecimiento, sino también al
aumento o disminución de la velocidad de ese ritmo.
La Fórmula general de las funciones polinómicas de segundo grado es
la siguiente: Y= a + bx + cx2, la misma que aplicada con fines de extrapolación de
la población se simboliza de la siguiente manera:
donde:
t : es el intervalo cronológico en
Nt : es el volumen poblacional estimado t años después de la
a,b,c : son constantes que pueden
Ejemplo: Dadas las poblaciones estimadas a los años 1950, 1970 y 1980, se
pide determinar la curva parabólica que se ajusta a dichos puntos, y aplicarla a fin
de hallar la población en el año 1986.
Solución: Dadas las estimaciones de
la población en tres fechas del pasado:
 1º Obtención de la parábola que pasa
por los tres puntos:
 Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas, se obtiene los
siguientes valores:
a = 7632.5 y la siguiente ecuación:
2º Aplicación de la parábola: Resolviendo dicha ecuación para t =
36, a fin de hallar la población en 1986:
N1986 = 7632.5 + 189.9(36) +
4.4078(36)2
N1986 = 20 181.4
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En los casos con que se dispone de estimaciones referidas a tres o más fechas pasadas y la tendencia observada no responde ni a una linea recta, ni a una curva geométrica o exponencial, es factible el empleo de una función polinómica de segundo o tercer grado. | |
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Si el periodo de la extrapolación se prolonga por más de un lustro, la tendencia de la curva elegida predominará sobre la tendencia observada en el pasado y las diferencias entre un método y otro se harán mayores. |
Al igual que en la aplicación de
la curva aritmética o geométrica, el
empleo de una curva parabólica puede traer problemas. Si se extrapola la
población por un período de tiempo muy largo,
pues los puntos llegan a moverse cada vez con mayor rapidez, en un sentido
ascendente o descendente. Ello puede conducir a
que un período futuro lejano se obtenga valores de la población
inmensamente grandes, o muy cercanos a cero. En muchos casos, este defecto
puede modificarse aplicando la
extrapolación parabólica a los logaritmos de
las cantidades, en vez de aplicarlas a las cifras en si. La extrapolación de
logaritmos implica una proyección de ritmos cambiantes de crecimiento, en vez
de cantidades absolutas.
Ejemplo: Utilizando los datos
del ejemplo anterior, calcular una parábola de segundo grado a partir de
los logaritmos de las cantidades dadas. Aplicarla a fin de hallar la población en
el año 1986.
Solución: Dadas las
estimaciones de la población en tres fechas del
pasado, se obtienen los logaritmos de
Nt :
1º Transformación logarítmica:  2º Obtención de la parábola que pasa
por los tres puntos:
Resolviendo el sistema de
ecuaciones simultáneas, se obtiene los
siguientes valores:
a = 3.8826668
y la siguiente ecuación:
log Nt = 3.8826668 + 0.0119664(t) -
0.00000415(t)2
2ºAplicando la ecuación anterior
con t=36, a fin de hallar la población en 1986:
log N1986 = 3.8826668 + 0.0119664(36) -
0.00000415(36)2
log N1986 = 4.3080788
Aplicando el antilogaritmo al
resultando anterior:
N1986 = 20 327.3
Comparando los resultados que
se obtienen de la aplicación de las cuatro metodologías expuestas, se observa
que las diferencias existentes son mínimas. Ello es así porque el período
de extrapolación es muy corto; entonces, la desviación respecto a la
tendencia histórica que surge de la aplicación
de cualquiera de los métodos, es muy pequeña. Si el período de
extrapolación se prolonga por más de un lustro,
la tendencia de la curva elegida
predominará sobre la tendencia observada en el
pasado, y las diferencias entre un método u
otro se harán mayores.
Si el periodo de la
extrapolación se prolonga por más de
un lustro, la tendencia de la curva elegida
predominará sobre la tendencia observada en
el pasado y las diferencias entre un método y
otro se harán mayores.
Ejemplo: Dadas las estimaciones de la población peruana a 1950, 1970
y 1980, calcular la población para todos
los quinquenios hasta el año 2025,
utilizando los métodos de extrapolación
lineal, geométrica, parabólico y de transformación parabólica.
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Solución: Proceder de acuerdo a
lo explicado en los ejemplos anteriores, que ilustran los cuatro métodos
de proyección:
1º Crecimiento lineal: aplicación de
la ecuación obtenida en el ejemplo, para t = 5, 10, 15, ....45:
Nt = 17 295.3 + (410.25 t)
2º Crecimiento geométrico: aplicación de la ecuación obtenida en el ejemplo, para t=5, 10, 15 .....45:
Nt = 17 295.3 (1.0274) t 3. Crecimiento Parabólico: Aplicación de la ecuación:
Nt = 7632,5 + 189,9 t + 4,4078t2 para t = 35, 40, 45, ........75
4. Transformación parabólica:
Aplicación de la ecuación:
LogNt=3,8826668 + 0,119664t -
0,00000416t2
para t = 35,40, 45, ......75
Los resultados obtenidos se presentan en el siguiente cuadro:
 Los Resultados del ejemplo anterior ilustran sobre dos de los factores que deben considerarse en la aplicación de los diferentes métodos de extrapolación: 1. La elección del método
de extrapolación debe basarse en un adecuado conocimiento de
la situación y de las tendencias demográficas del país, y de un profundo análisis de
las características de cada uno de los métodos propuestos.
2. La viabilidad de los
resultados depende esencialmente del
período de progresión a medida que
este aumenta los errores, producto de la elección de un método poco pertinente aunmentaron
cada vez más con el transcurso de los años.
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La elección del método de extrapolación debe basarse en un adecuado conocimiento de la situación y de las tendencias demográficas del país, y de un profundo análisis de las características de cada uno de los métodos propuestos. | |